(۳-۶۱)
اثبات کامل می شود.
توجه: با توجه به قضیه (۳-۴ ) ، الگوریتم برون یابی ریچاردسون براساس دو پارامتر تراز زمانی به صورت زیر است:
(۳-۶۲)
که نمی‌تواند به همگرایی مرتبه  برسد.و این توصیف بصورت ریاضی در اولین مثال در بخش بعدی به خوبی نشان داده شده است.
فصل چهارم
مثالها و نتایج عددی
۴-۱- مثال‌های عددی
در این بخش ، سه مسأله اولیه با مقدار مرزی که دارای جواب تحلیلی می باشند را جهت نشان دادن کاربرد عملی و مؤثر بودن الگوریتم های ارائه شده مورد بررسی قرار می دهیم . برای راحتی کار الگوریتم بکار رفته در روش ضمنی مسیر متناوب مورد نظر را به نام الگوریتم I می‌نامیم و الگوریتم برون‌یابی ریچاردسون رابطه (۳-۵۱) که با بهره گرفتن از روش ضمنی مسیر متناوب ارائه داده شده برای حل مسأله اولیه با مقدار مرزی (۳-۱) تا(۳-۳) به کار می‌رود را الگورتیم II می‌نامیم و همینطور الگوریتم برون‌یابی ریچاردسون رابطه (۳-۵۷) که با بهره گرفتن از روش ضمنی مسیر متناوب ارائه شده برای حل مسأله مقدار اولیه با مقدارمرزی ذکر شده را الگوریتم III می‌نامیم.

با در نظر گرفتن  و  که در محاسبات استفاده می شود، کارایی سه الگوریتم مورد بررسی قرار می گیرد. بطور ساده ،   و زمان انجام محاسبات در الگوریتم اول، به ترتیب با   در الگوریتم دوم به ترتیب با   و در الگوریتم سوم با   نشان داده می شود. برای سنجش دقت الگوریتم جدید ، خطاهای نسبی در هر کدام از موارد ذکر شده در جدولهایی که در صفحات بعد قرار دارند،دیده می شود.
وقتی که  یا  است.آنگاه

وقتی که  آن گاه:

است.به طوری که
یا  یا
مثال۴-۱: معادله موج زیر را در نطر می گیریم :

=
برای ارزیابی دقت عملکرد سه الگوریتم با طول گام ثابت ، صد بار آن را تکرار میکنیم سپس میانگین زمان انجام محاسبات و لیست نتایج محاسباتی در جدول ۲و۱ به شرح زیر است:
جدول شماره۴ :نتایج محاسباتی برای مثال یک در T=1 و
جدول ۴ :نتایج عددی برای مثال ۱ در  را نشان می‌دهد.
از جدول ۱ ما میتوانیم دریابیم که الگوریتم دوم دارای دقت همگرایی  در  است , الگوریتم اول دارای دقت همگرایی  است و الگوریتم سوم نمیتواند مرتبه همگرایی  را بدست آورد. این موارد با تحلیل ما هماهنگی دارد.
جدول اول نشان دهنده برتری الگوریتم دوم بر الگوریتم اول و سوم است. بطور مثال ، با همان طول گام h الگوریتم دوم جواب دقیق‌تری را بدست می آورد. برای کسب همان دقت، محاسبات الگوریتم دوم کوتاه‌تر است.
ما در جدول ۱می بینیم که
از الگوریتم اول با  بدست میاید که نیازمند زمان ۱۴/۰ ثانیه است.  از الگوریتم سوم با  بدست میاید که نیازمند زمان  ثانیه است.  از الگوریتم دوم با  بدست میاید که نیازمند زمان  ثانیه است.
جدول ۲ نشان می‌دهد که الگوریتم اول از نظر زمانی مرتبه دوم و از نظر مکانی مرتبه چهارم در  و  است. به نظر می رسد که مرتبه همگرایی اش با طول گامهای  پایین است.
این روند در جدول‌های بعدی نیز وجود دارد.
مثال۲: معادله موج سین- گوردون زیر را در نظر می گیریم:

که در [۴۹ و ۴۵] بررسی شده است.
نتایج عددی در جداول ۶تا۳ و شکل ۱ نشان داده شده است.
جدول شماره ۳ : نتایج عددی برای مثال ۲ در ۵ T= با
جدول ۴: نتایج عددی برای مثال ۲ در  با
جدول۵ : نتایج همگرایی الگوریتم اول در نرم  و  در  برای مثال را در  نشان می‌دهد.
جدول شماره ۶: خطاهای  و  در ترازهای زمانی را با توجه به منبع [۴۳] در این مثال ، با  و  نشان می‌دهد.
داده ها در جدول ۳ بار دیگر نشان می دهد زمانی که  است، الگوریتم اول مرتبه همگرایی  دارد ، و مرتبه همگرایی الگوریتم دوم  است ما می توانیم از جدول ۴ دریابیم وقتی که مرتبه‌های همگرایی  و  تقریبا برابر با چهار است. با این حال، در مقایسه با داده ها در جدول ۳، با همان طول گام h ، الگوریتم دوم جواب های دقیق تری به دست می آورد ولی زمان انجام محاسبات آن بیشتر است . جدول ۵ نشان می دهد که با توجه به  و  الگوریتم اول از نظر زمانی در مرتبه دوم و از نظر مکانی در مرتبه چهارم است. برای نشان دادن سرعت انتشار خطا  و کارآیی روش‌های عددی ذکر شده ما از الگوریتم دوم با طول گامهای  برای حل مثال دوم استفاده می کنیم و در می یابیم که در  ،  و  است ، شکل ۱ نشان دهنده جواب مسأله در می باشد. در جدول ۶،  و  به ترتیب خطاهای  و  جواب عددی الگوریتم ارائه شده در [۴۳] است.
خطاهای محاسبه شده از جواب الگوریتم ارائه شده در [۴۵] به ترتیب با  و  نشان داده می شود ، داده‌های  و  در جدول ۶ از جدول ۴ از مقاله [۴۵] آمده است.
جدول ۶ نشان می دهد که الگوریتم دوم بهترین جواب را دارد . این نکته قابل ذکر است که الگوریتم پیشنهاد شده در [۴۵] نیز دارای دقت مرتبه دوم در زمان و مرتبه چهارم در مکان است.
نتایج عددی نشان میدهد که الگوریتم دوم جواب دقیق‌تری را به دست می آورد. این با پیش بینی ما هماهنگ است که به دلیل خطای نسبی که در این مقاله معرفی شده است ،مرتبه خطا،  است در حالی که در [۴۵] برابر  است.
شکل ۱: مثال ۲:حل شده با الگوریتم دوم با  در  (سمت چپ) و خطای جایگذاری نقاط متناظر (سمت راست) است
مثال۳: معادله موج کینک زیر را در نطر می گیریم:
و

که  و  مثبت و  است.
ویژگی مهم مثال ۳ حفظ انرژی است.