در های خیلی کم : در این حالت تغییرات فضایی بسیار آرام است و باز هم همانند بالا عبارت شبه صفر می شود ودر این جا هم می توان جفت شدگی را از بین برد .

مثالی از جفت شدگی

به عنوان مثال حالت اول (g=0) را بررسی می کنیم :
در رابطه (۱-۲) ، و را برابر قرار می دهیم{۲۷} . معادلات (۶-۲)تا(۹-۲) به صورت زیر می شوند :
(۱۵-۲) :
(۱۶-۲) :
(۱۷-۲) :
(۱۸-۲) :
و همچنین معادلات هلمهولتز را را می توان به صورت زیر نوشت {۲۷}:
(۱۹-۲) :
(۲۰-۲) :
معادله (۱۹-۲) مربوط به میدان مغناطیسی عرضی ™ و معادله (۲۰-۲) مربوط به میدان الکتریکی عرضی (TE) می باشد .
در این جا به بررسی معادله میدان مغناطیسی عرضی می پردازیم .با توجه به این رابطه می توان نوشت :
(۲۱-۲) :
در رابطه بالا ، را به صورت زیر تعریف می کنیم :
(۲۲-۲) :
(۲۳-۲) :
جواب معادله بالا عبارت است از :
(۲۴-۲) :
برای اینکه در r=0 میدان باید متناهی باشد نتیجه می گیریم که است.

همانند رابطه (۸۹-۱)برای nامین صفر بسل mام نوع اول می توان نوشت{۲۷} :
(۲۵-۲) :
رابطه پاشندگی برای موج های به صورت زیر می باشد :
(۲۶-۲) :
برای موج های نیز همین فرایند ها را طی می کنیم با این تفاوت که از معادله (۲۰-۲) شروع می کنیم.

موجبر دی الکتریک با سطح مقطع دایروی برش داده شده

در این بخش مقاله ای را بررسی می کنیم که در هسته ی آن جریان مجدد ^[۱۹]کاملا اتفاق می افتد و سطح مقطع آن به صورت دایروی برش داده شده^[۲۰] است. هنری و وربیک^[۲۱] روش عددی را برای محاسبه ی جواب موجبر با یک سطح مقع دلخواه که بر پایه ی تخمین اسکالر معادلات موج و بسط فوریه^[۲۲] میدان های معین است را ارائه دادند{۳۳}. آنها این روش را برای آنالیز کردن موجبرهایی با هسته ی جریان مجدد به کار بردند و هم چنین هسته ها را همانند توده های مستطیلی با ضریب بازتاب ثابت تخمین زدند. روش های مختلف همانند المان متناهی(یا متفاوت)،معادله ی انتگرالی،تطابق نقطه ای و روش های رزونانس عرضی برای حل معادله موج برداری با سطح مقطع دلخواه گسترش یافته بود.در مقایسه با دیگر روش ها روش تطابق نقطه ای^[۲۳] روش نسبتا راحتتری است،در این روش میدان ها بر حسب هارمونیک های کروی بسط داده می شوند و ضرایب بسط از شرط پیوستگی میدان در بی نهایت نقطه مرزی انتخاب شده بدست می آید.این روش در ابتدا توسط ژوئل^[۲۴] برای موجبر مستطیلی به کار برده شد{۳۴} و بعد یاماشیتا^[۲۵] و همکاران این روش را برای مطالعه ی فیبرهای نوری با ساختار ترکیبی به کار بردند{۳۷-۳۵}.در این مقاله از روش تطابق نقطه ای برای آنالیز کردن جواب برداری موجبر با سطح مقطع دایروی برش داده شده استفاده می شود.
هدف از بررسی این مقاله آشنایی با معادلات میدان در این گونه موجبرها،نحوه ی استفاده از شرایط مرزی، نحوه ی تشکیل دترمینان ضرایب برای بدست آوردن معادله ی پاشندگی و رسم نموادر پاشندگی است که در فصل بعد برای بررسی امواج آهسته به این اطلاعات نیاز داریم.

آنالیز موجبر دایروی برش داده شده

شکل ۱-۲ موجبرهای دی الکتریک با سطح مقطع برش داده شده.{۱۸}
همانطور که در شکل ۱-۲ نشان داده شده است،یک موجبر دی الکتریک با سطح مقطع برش داده شده حول محور را در نظر می گیریم . ارتفاع و شعاع انحنای دایره ی برش داده شده به ترتیب است .
در این مقاله فرض می شود که ثابت دی الکتریک هسته و ثابت دی الکتریک غلاف است ،و هر دو محیط گذردهی فضای آزاد را دارند. مولفه های طولی میدان های الکترو مغناطیسی برای مدهای داده شده داخل هسته به این صورت بیان می شوند :
(۲۷-۲) :
(۲۸-۲) :
وبرای بیرون هسته به صورت زیر بیان می شوند :
(۲۹-۲) :
(۳۰-۲) :
فرکانس زاویه ای و ثابت انتشار است . اعداد موج عرضی هستند که به صورت زیر نشان داده می شوند :
(۳۱-۲):
که و است .عبارت های و به ترتیب nامین مرتبه تابع بسل و تابع بسل اصلاح شده هستند . با توجه به روابط زیر می توان گفت در معادلات ماکسول مولفه های عرضی میدان ها وابسته به مولفه های طولی هستند .
(۳۲-۲) :
در روابط بالا به جای می تواند یا قرار بگیرد .
ما را از مرکز مختصات تا مرز هسته به صورت زیر به دست می آوریم :
(۳۳-۲) :
و مولفه های میدان الکتریکی عرضی مماس بر مرز به صورت زیر بدست می آید :
(۳۴-۲) :
زاویه ی ، زاویه ی بین خط شعاعی کنج هسته و محور است که توسط رابطه زیر داده می شود :
(۳۵-۲) :
مولفه ی میدان مغناطیسی عرضی مماس بر مرز ، فرمی مشابه عبارت دارد{۱۸} .
از آن جا که این موجبر حول محور متقارن است مولفه های میدان های الکترومغناطیسی مدها حول این محور یا باید زوج باشند یا فرد .وقتی حول محور فرد است ، ، ،و فرداند و ، ، و حول این محور زوج اند . وقتی حول محور زوج است ، ، ،و زوج اند و ، ، و حول این محور فرد اند . این نتایج از معادلات ماکسول نتیجه می شوند .
مدهای موجبر را به دو گروه که دارای پاریته ی زوج یا فرد باشند تقسیم می کنیم .در این جا مدهایی با پاریته ی فرد را حل می کنیم. با در نظر گرفتن خاصیت تقارن ، معادلات (۲۷-۲) تا (۳۰-۲) به فرم زیر نوشته می شوند . برای داخل هسته عبارت های میدان به صورت زیر نوشته می شوند :
(۳۶-۲):