سه حالت زیر را درنظر گرفت:
معادله هذلواوی می باشد.  حالت اول: اگر
معادله سهموی می باشد.  حالت دوم : اگر
معادله بیضوی حاصل می شود.  حالت سوم: اگر
و به این ترتیب شیب جهات مشخصه (ریشه های معادله) مربوط به معادله (۱-۴) بایافتن ریشه های معادله درجه دوم (۱-۸) حاصل می شود.
۱-۳- کاربرد معادلات هذلولوی در فیزیک[۱]
در اینجا یک معادله دیفرانسیل جزئی هذلولوی را بررسی خواهیم کرد.
فرض می کنیم یک نخ قابل ارتجاع به طول  بین دو نقطه اتکا در یک سطح افقی کشیده شده باشد هرگاه نخ چنان به حرکت در آید که در یک سطح قائم نوسان کند آن گاه تغییر مکان قائم  یعنی یک نقطه ، در زمان  در معادله دیفرانسیل جزئی

صدق می کند به شرطی که از اثرات بی حرکت کردن سیم صرف نظر شود و نوسانات خیلی بزرگ نباشد.
برای اعمال قیود روی این مسأله فرض می کنیم محل اولیه و سرعت نخ به صورت زیراست:

و از این امر استفاده می کنیم که نقاط انتهایی ثابت هستند که نتیجه می دهد:

مسائل فیزیکی دیگری شامل معادلات دیفرانسیل جزئی هذلولوی درمطالعه ی موج های نوسان کننده که یک یا دو انتهای آن با گیره نگه داشته می شود و انتقال الکتریسیته در یک خط انتقال طویل که در آن مقداری انتقال جریان به زمین وجود دارد ، رخ می دهد.
۱-۴- حل عددی معادله موج [۱]
مثالی از یک معادله دیفرانسیل جزئی هذلولوی را بررسی خواهیم کرد.
معادله دیفرانسیل
(۱-۱۰)
تحت شرایط

داده میشود که در آن  یک ثابت است.برای بدست آوردن روش تفاضلی متناهی ، یک عدد صحیح مثبت  و اندازه طول گام زمانی مثبت  و انداره طول گام مکانی مثبت  معرفی می شوند.
را انتخاب می کنیم. به طوریکه
تعریف می شوند.  و  با  نقاط شبکه ای
و
معادله موج به حالت زیر می شود:  در هر نقطه شبکه ای داخل

روش تفاضلی با بهره گرفتن از خارج قسمت تفاضل مرکزی برای مشتقات جزیی مرتبه دوم که با فرمول های زیر داده می شود بدست می آید:
(۱-۱۱)
به طوریکه  است
(۱-۱۲)
با جایگذاری ( ۱-۱۲ ) و (۱-۱۱) در ( ۱- ۸ ) به دست می آوریم:
(۱-۱۳)
قضیه۱-۱ : مسأله مقدار مرزی : رجوع کنید به منبع ]۴[
مسأله مقدار اولیه:

و مسأله مقدار اولیه

به طوری که  جواب های منحصر به فرد دارند اگر بر دامنه  بر  به ازای یک پارامتر دلخواه

پیوسته باشند.  الف)
وجود داشته باشد  ب) ثابت
پ)
۱-۵- حل عددی معادلات غیر خطی [۱]
مواجه هستیم به طوری که  ما در معادلات غیر خطی موج با دستگاه معادلات غیرخطی