(۲-۶۸)
(۲-۶۹)
حال تقریبی برای مشتق توابع بسل موجود در پشت کروشه، نوشته می‎شود. به عنوان نمونه :

(۲-۷۰)
(۲-۷۱)
(۲-۷۲)
=
((۲-۷۳)
بنابراین داریم:
((۲-۷۴)
(۲-۷۵)
حال را به صورت زیر بازنویسی می‎کنیم.
(۲-۷۶)
(۲-۷۷)
(۲-۷۸)
(۲-۷۹)
از آنجایی که ، بنابر این در هر چهار عبارت از جمله های مشترک فاکتور می‎گیریم. و مقادیر و را نیز جایگذاری می‎شود. سپس به جای قرار میدهیم.
و و
پس از انجام محاسبات و ساده سازی معادله (۲-۴۶) در رابطه شفافیت به دست می‎آید. بنابراین:
(۲-۸۰)
۲-۵ نتایج تجربی کاهش پراکندگی از استوانه بینهایت دی الکتریک
پوشیده شده با لایه ای از فراماده
اندرو الو ^[۴۴] وهمکارانش برای و های متفاوت برای قطبش TMZ مناسب ترین نسبت شعاع های استوانه ها را حساب کرده اند]۵۱[و در جدول زیر برای طول موج های تابشی مختلف بیان کرده اند. در این جدول نتایج محاسبه شده برای استوانه های PEC و دی الکتریک، در شعاع های متفاوت نشان داده شده است. در این جدول بهره پراکندگی () و سطح مقطع پراکندگی و سطح مقطع پراکندگی برای حالت بدون پوشش است. اگر در معادلات مربوط به ، حد و ) را اعمال کنیم بدست می‎آید.
شکل(۲-۳). داده های این جدول از طریق محاسبات عددی برای کاهش سطح مقطع پراکندگی از طریق پدیده حذف پراکندگی به دست آمده است]۵۱[.
همانگونه که در این جدول دیده می‎شود، کمترین مقدار سطح مقطع پراکندگی برای استوانه نازک با شعاع دیده می‎شود. در این شعاع، برای استوانه دی الکتریک گذردهی الکتریکی منفی و برای استوانه PEC گذردهی الکتریکی مثبت وجود دارد. هرچقدر شعاع استوانه بزرگتر باشد، کاهش پراکندگی کمتر است.
هر فراماده، یک فرکانس پراکندگی دارد که برای آن فرکانس شرط زیر برقرار است.
(۲-۸۱)
در مدل پراکندگی درود به شکل زیر نوشته می‎شود:
(۲-۸۲)
در رابطه بالا ، فرکانس میرایی است و به میزان افت در فراماده، مربوط می‎شود.
شکل(۲-۴). نمودار تابع برحسب ]۵۱[.
شکل(۲-۵). نمودار تابع برحسب ]۵۱[.
نمودارهای بالا با بهره گرفتن از نرم افزارمتمتیکا رسم شده است و با نتایج بدست آمده از طریق محاسبات ذکر شده در جدول بالا مطابقت دارد.
شکل زیر عملکرد پوشش پلاسمونی نسبت به فرکانس را نشان می دهد. شکل چپ بازده پراکندگی و شکل سمت راست بهره پراکندگی را برای یک استوانه دی الکتریک بی‎نهایت با شعاع و برای قطبش های TM , TE موج تخت تابشی، نشان می‎دهد. قطبش TM بیشتر پراکنده شده است. بنابراین طراحی پوشش بهینه، تاثیر بیشتری روی این قطبش دارد. شکل سمت راست بهره پراکندگی نرمال شده، برای قطبش های TE , TM مربوط به حالت ذره پوشش دار با شعاع و گذردهی الکتریکی در فرکانس را نشان می‎دهد. همانگونه که مشاهده می‎شود، کاهش پراکندگی برای قطبش های TE ,TM در فرکانس های مختلفی انجام می‎شود. کاهش پراکندگی برای قطبش TE در فرکانس پایین تر و عمق کمتری نسبت به قطبش TM اتفاق می‎افتد. اگرچه این اتفاق دور از انتظار نیست. زیرا مقدار مطلق پراکندگی TE در حلت بدون پوشش تیز کمتر است (شکل سمت چپ). و مقدار نشان داده شده در شکل سمت راست، به پراکندگی نرمال شده مربوط به شکل سمت چپ نیز مربوط است.
شکل (۲-۶). بازده پراکندگی برای حالت بدون پوشش و برای حالت با پوشش]۵۱[.
۲-۵-۱ تحلیل حالت ایستا
این حالت برای استفاده می‎شود. در این حد ( به دلیل اینکه مقادیر ضرایب به زاویه تابشی بستگی ندارد و موج پراکنده شده توسط مقدار محدودی از مرتبه های دوقطبی تحت تاثیر قرار می‎گیرد)، تحلیل روابط ساده تر است. در حد ایستا، وابستگی توابع بسل،‎‎ در رابطه ضریب پراکندگی ‎‎ بر حسب ، قابل صرف نظر است. بنابراین، در این حالت جفت شدگی قطبش متقابل^[۴۵] محیط هسته و پوسته قابل صرف نظر است. بنابراین، برای شرایط شفافیت در حالت ایستا، تنها مرتبه اول بسط تیلور در را در نظر میگیریم. معادله (۲-۴۶) تاکید می‎کند که استوانه های نازک، همیشه با مرتبه های پراکندگی غالب در بسط تیلور، پنهان سازی^[۴۶] می‎شوند. برای استوانه های نازک دی الکتریک، ضریب پراکندگی غالب است. در این حالت باید با لایه ای نازک با پوشیده شود. برای استوانه مغناطیسی نیز باید باشد.
می‎‎توان نشان داد]۱۳[که برای استوانه های دی الکتریک معمولی ( و )، تنها جمله های و ، برای قطبش های TM و TE، در معادله غالب هستند و برای استوانه مغناطیسی، تنها غالب است.
شکل (۲-۷). بازده پراکندگی کل، برای استوانه بینهایت دی الکتریک برای سه زاویه مختلف تابشی]۵۱[.
در شکل (۷) یک استوانه دی‎الکتریک با و قطر نرمال شده ، پوشیده شده با لایه ای نازک با شعاع ، را در نظر می‎گیریم. این شکل تغیرات بازده پراکندگی کل( ) به عنوان تابعی از گذردهی الکتریکی، برای زاویه های مختلف تابشی، با قطبش TM موج تخت را نشان می‎دهد. در شکل مشاهده می‎شود که با بهره گرفتن از گذردهی الکتریکی منفی، بازده پراکندگی استوانه به شدت کاهش پیدا می‎کند.در شکل سمت چپ کمترین پراکندگی کل مربوط به شرایط شفافیت در حالت ایستا، است. کمترین مقدار پراکندگی کل به زاویه تابشی نیز بستگی دارد و کمترین حالت، در تابش عمودی با ( با کاهش db50 نسبت به سایر زاویه ها) اتفاق می‎افتد. برای این حالت، غالب است. برای زاویه های تابشی غیر عمود، جفت شدگی با ضرایب TE ، تحت تاثیر عملکرد پنهان سازی قرار می‎گیرد و کاهش پراکندگی کمتر اتفاق می‎افتد. ولی مقدار کاهش بازده پراکندگی مانند زاویه تابشی عمود، در اتفاق افتاده است. همچنان مشاهده می‎کنیم که رزونانس های پلاسمونی، مربوط به شرایط شفافیت، مقدار منفی است. همانگونه که مشاهده می‎شود، رزونانس برای زاویه تابش عمود ( به دلیل عدم جفت شدگی بین قطبش ها در زاویه عمود) وجود ندارد. ولی هنگامی که زاویه تابش مایل می‎شود، به دلیل جفت شدگی قطبش متقابل^[۴۷] ، رزونانس وجود دارد. به همین دلیل، یک قله تیز برای مقدار منفی وجود دارد. در محدوده مثبت ، یک فرورفتگی کوچک دیگری در بازده پراکندگی، برای دیده می‎شود. این فرورفتگی مربوط به شرایط شفافیت، در است. این فرورفتگی برای درجه دیده نمی‎شود. و این موضوع نشان دهنده عدم حضور جفت شدگی بین قطبش ها، در زاویه نود درجه است.
شکل (b) یک استوانه با هندسه مشابه با استوانه شکل (a) است. ولی خصوصیات مغناطیسی آن توسط موج تخت TMz تحریک می‎شود. همه پارامترها نیز با شکل (a) یکسان است. بازده پراکندگی استوانه در این شکل نشان داده شده است. برای این حالت، غالب است. کاهش پراکندگی در و دیده می‎شود. همانگونه که از شکل پیداست، در این حالت کاهش بازده پراکندگی استوانه به زاویه تابشی بستگی ندارد. عدم حضور پراکندگی در مدهای مرتبه بالاتر، باعث می‎شود که عملکرد پوشش، با تغیرات زاویه تابشی ثابت باقی می‎ماند. هنگامی که باشد، تنها دو جزئ مماسی میدان صفر نیستند ( ) برای قطبش TMz و ( ) برای قطبش TEz). به همین دلیل در مساله پراکندگی،یک ماتریس داریم. وابستگی زمانی در این معادلات توسط بیان می‎شود. بازده پراکندگی کل، به عنوان نسبت نرمال شده سطح مقطع پراکندگی در مقطع استوانه بیان می‎شود. با تنظیم خصوصیات فیزیکی و الکتریکی پوشش فراماده، می‎توان پراکندگی از سطح مقطع استوانه را توسط مرتبه های غالب پراکندگی کنسل، و با صفر کردن مقدار ضریب پراکندگی ، کمینه کرد.
۲-۶ کاهش پراکندگی از سطح اجسام کروی پوشیده شده با لایه ای از
فراماده
در این بخش امکان استفاده از پوشش های فرامواد و پلاسمونی، برای کاهش چشم گیر سطح مقطع پراکندگی کل، از اشیا کروی مورد بحث قرار گرفته است. اگرچه انتظار می رود افزایش سایز فیزیکی اشیا منجر به افزایش سطح مقطع پراکندگی کل شود، می بینیم که چگونه یک طراحی مناسب این پوشش های بدون افت فرامواد، در نزدیکی فرکانس پلاسمای آنها، منجر به کاهش چشم گیر سطح مقطع پراکندگی می شود و این اشیا را برای یک ناظر بیرونی تقریبا نامرئی یا شفاف می سازند.
۲-۶-۱ پنهان سازی کره با پوشش فراماده
یک روش برای پنهان ساختن اشیا با پوشش های فراماده این است که متناسب با جسم مورد نظر، یک پوشش برای آن طراحی کنیم که با تغیر سایز و شکل جسم، پوشش فراماده هم تغییر می کند.
برای این منظور استفاده از موادی با پارامترهای الکترومغناطیسی تشکیل دهنده منفی با مقدار ناچیز، رامورد توجه قرار می دهیم، بعنوان مثال فلزات نجیب نزدیک فرکانس پلاسما، یا فرامواد با پارامترهای منفی.
۲-۶-۲ اصول نظری کاهش پراکندگی از سطح اجسام کروی
برای بررسی اصول نظری پدیده کاهش سطح مقطع پراکندگی کل از نانوذرات کروی، کره دی الکتریک همگن با گذردهی الکتریکی و نفوذپذیری مغناطیسی µ و شعاع a را در فضای آزاد در نظر می گیریم. می خواهیم اثر قرار دادن یک پوسته کروی بر روی کره زیر را بررسی کرده و ببینیم آیا با در نظر گرفتن پوشش فراماده، می توان سطح مقطع پراکندگی آن را بطور قابل ملاحظه ای کاهش داد، که این پدیده برپایه خنثی شدن جمله های دوقطبی ناشی الکتریکی و مغناطیسی از یک ذره کروی رسانا می باشد]۴۸[.
شکل(۲-۸) ذره کروی پوشیده شده با لایه ای از فراماده ]۴۸[.
موج تابشی را یک موج تخت و تکفام با تغییرات زمانی (e^jωt) در نظر می گیریم. با بهره گرفتن از تئوری بسط مای^[۴۸] برای مختصات کروی، میدان های پراکنده شده را بصورت مجموعه ای ازهارمونیک های کروی با دامنه مختلط در نظر می گیریم که n یک عدد طبیعی است. پس از انجام محاسبات و رسیدن به ماتریس پراکندگی مورد نظر را بدست می‎آوریم. سطح مقطع پراکندگی کل از ذرات کروی به صورت زیر است.
(۲-۸۳)