(۴۰)

اگر از معادله(۴۰) برای به روز رسانی ماتریس کوواریانی خطا استفاده کنیم. در این صورت معادله به روز رسانی حالات به فرم معادله(۴۱) حاصل میشود.

(۴۱)

در صورتی که رتبه ماتریس رویت پذیرکامل نباشد و ما قادر به استفاده از فیلتر کالمن برای تخمین تمامی حالات سیستم نخواهیم بود، برای حل این مشکل دو راه حل وجود دارد:
اضافه کردن اندازه گیری های اضافی به سیستم که این امر مستلزم نصب سنسورهای اضافی بر روی سیستم می باشد.
یافتن راهی برای رویت پذیر کردن سیستم
۳ .روش پیشنهادی ما برای کاهش عدم رویت پذیری در سیستم ، بدین صورت می باشد که در فیلتر کالمن معمولا عدم رویت پذیری از ترم  در معادله به روز رسانی ماتریس کوواریانس خطای تخمین ناشی میشود. با بهره گرفتن از لم معکوس ماتریس واستفاده از مدل کاهش یافته برای ترم  می توان نرم ماتریس کوواریانس خطای تخمین را محدود کرد. با بهره گرفتن از دستور svd متلب، مقادیر تکین صفر و نزدیک به صفررا از ترم حذف مکنیم. و از مدل کاهش یافته برای ترم  در لم معکوس ماتریس استفاده میکنیم.
همانطور که اشاره شد اگر رتبه ترم  در معادله به روزرسانی ماتریس کوواریانس کامل نباشد، برای محاسبه معکوس آن از تکنیک تجزیه مقادیر تکین( svd) استفاده می کنیم . با بهره گرفتن از دستور svd مطلب می توان ماتریسهای UوSوV پیدا نمود.
([U,S,V] = svd(X
عناصر روی قطر اصلی ماتریس S بیانگر مقادیر تکین^[۲۳] می باشد، برای محاسبه معکوس ترم  مقادیر تکین صفر و نزدیک به صفر را از ماتریس Sحذف نموده و در ماتریس U,V ستونهای متناظر با مقادیر تکین صفر و نزدیک به صفر را حذف می کنیم. از آنجایی که رنک ماتریس برابراست با تعداد مقادیر تکین غیر صفر می باشد. در این صورت معکوس ترم  برابر خواهدبود.

(۴۲)

که در رابطه (۴۲)،  هرمیتی ماتریس  می باشد.
فصل چهارم: مدل ریاضی سیستم
مساله­ی فیزیکی تحت تجزیه و تحلیل شامل یک خط لوله دو بعدی با مقطع دایره ای شکل پرشده از سیال راکد و محدود شده توسط دیواره لوله با ضخامت ثابت است. محیط سیال همگن ایزوتروپیک و با خواص حرارتی ثابت در نظر گرفته شده است. فرمول ریاضی مساله فیزیکی در وضعیت خاموشی است، که در آن سیال تولید شده است بدون جنبش در نظر گرفته شده است. بنابراین، مساله حرارتی خط لوله­ی ایده آل در اینجا به عنوان یک مساله هدایت گرمایی ناپایدار حل می شود.
پروفایل دما
تجزیه و تحلیل نظری:
تبادل جریان حالت پایدار و گرما (هیچ متغیر مساله­ای وابسته به زمان نیست)
انتقال حرارت یک بعدی (شعاعی)
مخلوط همگن
تغییرات دمای مخلوط در جهت طولی در نظر گرفته شده
خواص فیزیکی مخلوط و ساختار آن مستقل از دما و فشار است [۱۱].
با توجه به تقارن حرارتی، فرمول بدون بعد این مساله­ی هدایت گرمایی در مختصات استوانه­ای با شرایط مرزی وشرایط اولیه­ توسط معادلات زیر داده شده است:
با فرض این که درجه حرارت متوسط ​​خارج است و دمای اولیه سیال است، روابط بدون بعد تعریف شده به عنوان:

با بهره گرفتن از روش جداسازی متغیرها معادلات را تغییر می دهیم.
این تغییر فرم را در معادلات اصلی قرار می دهیم.
معادله اصلی را بر تقسیم می کنیم.
با توجه به اینکه سمت چپ تابعی از و سمت راست تابعی از R است پس هر دو طرف بایستی برابر با مقدار ثابت باشند.
که معادله فوق نشان دهنده یک فرم از معادله کلی بسل به صورت زیر است:
بنابراین =۰ و جواب های معادله بالای صفحه به صورت زیر هستند:
و با توجه به اینکه در R=0، مقدار به صورت می رود. بنابراین نمی توان جواب معادله دما باشد و تمامی جواب ها به صورت هستند.