.

روش مونت کارلو

روش مونت کارلو^[۱۱] یک روش مبتنی بر تکنیک های تصادفی می باشد که با در نظر گرفتن توزیع تصادفی
و بهره گیری از تئوری احتمالات به حل مسئله می پردازد. این روش در طیف وسیعی از علوم مانند بیولوژی، جامعه شناسی و فیزیک هسته ای مورد استفاده قرار می گیرد. اساس این روش بر تولید اعداد تصادفی دربازه ی بین صفر و یک استوار است. روش های مختلفی برای تولید اعداد تصادفی وجود دارند که بسته به نوع مسئله مورد استفاده قرار می گیرد.

دینامیک نابجایی

هرگونه خروج از حالت کریستالی مواد، که معمولا در مواد وجود دارد، نابجایی خوانده می شود. با توجه به اینکه مطالعه ی رفتار مواد در همسایگی این نابجایی ها اغلب با مشکلاتی روبروست، تئوری هایی مخصوص این حالت ابداع شده اند که به بررسی رفتار و حرکت نابجایی ها می پردازند. در این تئوری ها حالت تنش و کرنش در همسایگی نابجایی ها مورد مطالعه قرار می گیرد و مشکلات ناشی از تکین^[۱۲] شدن مقادیر تنش و کرنش رفع می شود.
در روش های چند مقیاسی، با اینکه مقیاس های متنوعی را می توان در نظر گرفت ولی اغلب دو یا سه مقیاس برای مطالعه در نظر گرفته می شود. زیرا در مرز بین دو ناحیه که دارای مقیاس های متفاوت هستند مشکلات ناشی از طبیعت متفاوت معادلات حاکم بروز می کند و باعث ایجاد نیروها و جابجایی های ناخواسته می شود. در بررسی های خیلی دقیق مانند پدیده ی رشد ترک، از سه مقیاس استفاده می شود. در نوک ترک و در ناحیه ای متشکل از چندین اتم محاسبات مکانیک کوانتوم مورد استفاده قرار می گیرد. در ناحیه ی اطراف نوک ترک، مدل سازی اتمی انجام می شود و در مابقی دامنه مدل های محیط پیوسته بکار گرفته می شود.

روش مکانیک مولکولی

این روش مبتکرانه ( که به طور کامل تر روش مکانیک مولکولی ساختاری^[۱۳] نیز نامیده می شود) در سال ۲۰۰۳ توسط لی^[۱۴] و چانگ^[۱۵][۱] ابداع گردید. در روش مکانیک مولکولی نیروهای بین اتمی با المان های اجزاء محدود (همچو المان تیر و فنر) مدل می شوند(شکل ۲ـ۳). خواص مکانیکی و هندسی این المان ها وابسته به نوع پتانسیلی است که برای نیروهای بین اتمی در نظر می گیریم. ساختار مورد نظر با المان های انتخاب شده مش بندی می گردد و مسئله همچون مسئله ی اجزاء محدود حل می شود.
شکل ‏۲‑۳ نانو لوله ی کربنی مش زده شده با المان های تیر تحت بارگذاری
از آنجا که در این روش هر اتم تنها به تعداد محدودی از اتم های اطراف خود به وسیله ی المان های موجود متصل است و همچنین به دلیل استفاده از روش عددی اجزاء محدود، این روش سرعت بیشتری نسبت به روش دینامیک مولکولی دارد. در این روش مدل سازی مسئله به صورت سریعتر و راحت تری انجام می شود اما دقت نتایج به خوبی روش دینامیک مولکولی نیست.
لی و چانگ [۵۵] در اولین کاربرد این روش مدول یانگ نانو لوله ی کربنی را با دقت خوبی محاسبه کردند. آن دو در مطالعه ای دیگر رفتار الاستیک نانو لوله ی کربنی در کمانش را بررسی کردند. همچنین در این مقاله برای نخستین بار نیروهای واندروالس بین لایه های مختلف نانو لوله های چند دیواره به وسیله ی روش مکانیک مولکولی مدل گردید.

تئوری های مرتبه بالای محیط پیوسته

روابط ساختاری تئوری های استاندارد محیط پیوسته اغلب به صورت خطی می باشد. اما با توجه به پدیده مورد مطالعه می توان از جمله های مرتبه بالاتر در روابط ساختاری یا از رابطه ساختاری جدید استفاده کرد. این موارد خاص قبل از مطرح شدن فناوری نانو نیز وجود داشته اند که می توان به بررسی رشد ترک، مواد دانه ای، مسائل مربوط به مرز بین دو ماده ی متفاوت و دیگر مسائلی که تئوری خطی الاستیسیته قادر به حل آن ها نیست اشاره کرد.
درحوزه ی نانو مکانیک برخی از تئوری های غیرخطی نیز مورد استفاده قرار گرفته اند. یک دسته از تئوری‏های غیرخطی الاستیسیته، تئوری غیر موضعی می باشد. در تئوری الاستیسیته ی غیرموضعی^[۱۶]، روابط تنش و کرنش که در تئوری کلاسیک بصورت محلی است، وابسته به کل دامنه می باشد. برای مثال در تئوری کلاسیک با دانستن حالت کرنش در یک نقطه می توان حالت تنش را در آن نقطه با بهره گرفتن از روابط ساختاری بدست آورد. اما در تئوری الاستیسیته ی غیر موضعی، برای بدست آوردن حالت تنش در یک نقطه باید حالت کرنش در تمامی نقاط دامنه معلوم باشد. بدین جهت اغلب روابط بصورت انتگرالی روی دامنه ی ماده می باشد.
اگر در روابط تنش کرنش، عبارات گرادیان کرنش را اضافه کنیم، تئوری حاصله الاستیسیته ی گرادیانی^[۱۷] خواهد بود. در این تئوری تا حدی که مورد نیاز است، می توان از گرادیان های مرتبه ی بالاتر کرنش و یا تنش استفاده کرد. این تئوری به خوبی می تواند رفتار ماده را در حالت های تکین که تئوری خطی قادر به جواب- گوی نیست، مدل سازی کند. برای مثال، حالت تنش و کرنش این تئوری در نوک ترک یا در مرز دو ماده تکین نخواهد بود. از این تئوری به صورت محدود برای مدلسازی رفتار مواد در مقیاس نانو استفاده شده است.
یکی دیگر ار تئوری های غیر خطی، تئوری الاستیسیته کسرات^[۱۸] می باشد. این تئوری که در اوایل صده ی ۱۹۰۰ توسط برادران کسرات ارائه گردید، برای مدلسازی رفتار دانه ای مانند خاک و شن ایجاد شده است. به علت روابط پیچیده ، این تئوری در ابتدا استقبال نشد؛ اما در سال های اخیر با مطرح شدن فناوری نانو مورد توجه محققان قرار گرفته است. در این تئوری، یک ثابت بی بعد که بیانگر یک مقیاس طول داخلی است به روابط اضافه می گردد. از آنجا که در مقیاس نانو، ساختار مواد به حالت دانه ای شبیه است، می توان از این تئوری بهره برد و با بدست آوردن ثابت طولی داخلی که احتمالا با داده های اتمی مرتبط خواهد بود، از مزایای این تئوری بهره برد. اما این تئوری هم معایب خاص خود را دارد و بجز در موارد خاص از این تئوری در مقیاس نانو استفاده نشده است.
در ادامه در مورد هر یک از تئوری های مرتبه بالای کسرات، تنش های مزدوج، الاستیسیته ی گرادیان کرنش و تئوری غیر محلی توضیحاتی داده خواهد شد.

تئوری کسرات و نظریه ی تنش های تزویجی

اگر در ماده تا حد ساختار کریستالی، مولکولی و حتی اتمی دقیق شویم، این ساختار به صورت گسسته قابل تعریف می باشد و نمی توان انتظار داشت زمانی که به بررسی خرابی های ریز مقیاس در حدود ساختار گسسته ماده می پردازیم، اثر ابعاد خرابی وارد نشود. برای اولین بار در سال ۱۹۰۹ برادران کسرات نظریه ی کلاسیک را زیر سوال بردند[۲]. در این کار که ایده ی اولیه ی برای بسیاری از کارهای مشابهی بود که در ادامه ارائه شد، آنها به این موضوع پرداختند که آیا می توان انتظار داشت فقط با در نظر گرفتن سه درجه تغییر مکانی برای هر نقطه از ماده، رفتار آن را به صورت کامل بیان شود. این مسئله بخصوص زمانی مملوس تر می شود که ماده را به صورت تجمعی از ریز ساختارها در نظر می گیریم. در نظریه ی مطرح شده توسط این دو برادر، پیشنهاد شد که علاوه بر سه درجه آزادی تغییر مکانی، سه درجه آزادی چرخشی هم برای هر نقطه در نظر گرفته شود. بر این اساس اندرکنش بین دو ذره همسایه، توسط یک بردار تنش و یک بردار لنگر صورت می گیرد. این دو بردار بر روی سطح مشترک مابین دو ذره تعریف می شوند. به این ترتیب چرخش نسبی دو ذره نزدیک به هم، بر خلاف نظریه ی کلاسیک باعث به وجود آمدن نیروها و لنگرهای اندرکنشی می شود. در این نظریه بطور کلی مولفه های چرخش، مستقل از مولفه های جابجایی در نظر گرفته می شود. این نظریه به نظریه ی محیط پیوسته ی کسرات یا نظریه ی میکروپولار^[۱۹] معروف می باشد. نام میکروپولار را ارینگن^[۲۰] [۳-۷] در مطالعات مفصل خود برای آن برگزید. مطالعات انجام شده بر روی این نظریه نشان می‏دهد که با توجه به فرمولاسیون جدید ارائه شده، اثر اندازه در حل مسائل مختلف وارد می شود. این مسئله توسط پارامترهایی با بعد طول که در مطالعات رفتاری ماده وارد می شوند، موجب می شود تا نظریه ی محیط پیوسته کسرات قابلیت پیش بینی اثر اندازه را دارا باشد. در نظریه ی دیگری که توسط میندلین^[۲۱] و تیرستن^[۲۲] [۸] در سال ۱۹۶۲ ارائه شد، فرض شد که مولفه های چرخش در هر نقطه از ماده می تواند بر اساس میدان جابجایی قابل تعیین باشد. در واقع فرض اساسی در نظریه ی آنها که به نظریه ی تنش های مزدوج معروف^[۲۳] است، برابری میکرو چرخش ها^[۲۴] و مایکرو چرخش ها^[۲۵] می باشد. میکرو چرخش ها همان چرخش های مربوط به خود ذرات می باشد که در نظریه ی اولیه ی کسرات مستقل از میدان جابجایی فرض شده بود. ماکروچرخش ها همان کرل میدان جابجایی می باشند و لذا از روابط میدان جابجایی قابل محاسبه است. در واقع این نظریه را می توان حالت خاصی از نظریه ی میکروپولار دانست.
میندلین [۹] در همان سال مطالعاتی بر روی ضرایب تمرکز تنش در اطراف سوراخ های به شکل دایروی و کروی انجام داد. بر اساس این تحقیق، ضرایب تمرکز تنش جدیدی که به اندازه ی سوراخ وابسته اند به دست می آیند. همانطور که قبلا نیز مطرح شد، بررسی و مطالعه ی مجدد موارد شامل اثرات ریز ساختار به کمک نظریه های مراتب بالاتر محیط پیوسته ی میکروپولار و نظریه ی تنش های مزدوج مورد توجه محققان بوده است. برای مثال بررسی اغتشاش میدان الاستیک در حضور ناهمگنی های دایروی و کروی مورد مطالعه محققان قرار گرفته است. سوکولوفسکی^[۲۶] و بانک [۱۰] به سال ۱۹۶۸، ویتسمن و گوپتا در سال ۱۹۶۵ [۱۱] به بررسی این موضوع پرداخته اند.
نظریه ی الاستیسیته ی کسرات در مواد علاوه بر درجات آزادی انتقالی و تنش (نیرو بر واحد سطح) موجود در الاستیسیته ی کلاسیک، چرخش موضعی نقاط و همچنین تنش های ناشی از لنگر (لنگر بر واحد سطح) را نیز در نظر می گیرد. تنش های ناشی از نیرو در الاستیسیته کلاسیک به تنهایی تنش نامیده می شود. چون اساسا نوع دیگری از تنش در آن نظریه، مطرح نیست. نخستین اندیشه ی تنش ناشی از لنگر به کارهای ویگت^[۲۷] بر می گردد. در زمان اخیر، تئوری هایی که تنش های ناشی از لنگر را در نظر می گیرند با توجه به ظرفیت های مکانیکی محیط های پیوسته ی مدرن توسعه پیدا کرده اند.
در سال ۱۹۶۸، ارینگن با انجام بازنگری هایی به تئوری کسرات نام آن را به نظریه ی میکروپولار تغییر نام داد که این دو نام کاملا معادل یکدیگر هستند. در این نظریه برای ماده ی همسانگرد شش ثابت الاستیک وجود دارد. رابطه ساختاری در این نظریه با بهره گرفتن از نمادهای ارینگن به صورت زیر بیان می شود:

در روابط فوق تنش ناشی از نیرو است که در این جا غیر متقارن می باشد. تنش ناشی از لنگر، کرنش برای جابجایی های کوچک و تانسور جایگشت است. در این نظریه، یا دوران میکرو از نظر سینماتیکی با یا دوران مایکرو که از بخش پادمتقارن گرادیان جابجایی به دست می آید متفاوت است. در حالت خاصی از تئوری میکروپولار که و مساوی با هم فرض می شوند، در نتیجه این نظریه به نظریه ی الاستیسیته ی تزویجی تبدیل می شود.
در یک ماده غیر موضعی همسانگرد، حالت کلاسیک، نقاط تنها دارای درجات آزادی انتقالی هستند با این تفاوت که تنش در یک نقطه به کرنش در همسایگی آن نقطه بستگی دارد. در تئوری ریز ساختار، نقاط ماده علاوه بر دوران و انتقال به صورت میکروسکوپیک تغییر شکل می دهند. در این حالت تعداد ثابت های الاستیک به ۱۸ می رسد. تئوری کلاسیک حالت خاصی از تئوری کسرات و نظریه ی uniconstant حالت خاص نظریه ی کلاسیک است که در آن نسبت پواسون را برای همه مواد پیش بینی می کند. از آنجا که بیشتر مواد همسانگرد معمولی، نسبت پواسونی تقریبا نزدیک دارند، نظریه ی مزبور بر مبنای آزمایش های مربوط به اندازه گیری نسبت پواسون رد شد.

الاستیسیته ی غیرموضعی

در این پروژه از این تئوری برای مدلسازی استفاده خواهد شد. بدین منظور این تئوری بصورت مفصل تر مورد بررسی قرار خواهد گرفت.
تئوری الاستیسیته ی غیرموضعی که توسط ارینگن معرفی شده است، یکی از تئوری های کانتینیومی غیر کلاسیک است که تاثیرات مقیاس های کوچک و فلسفه ی عدم پیوستگی محیط مادی و در نتیجه ناپیوستگی میدان مکانیکی (تانسورهای تنش وکرنش) در معادلات مشخصه این تئوری لحاظ شده است.
در تئوری های مکانیک محیط های پیوسته کلاسیک، فرض بر این است که تنش در یک نقطه فقط تابع کرنش در آن نقطه هست، در صورتی که در تئوری غیر موضعی، فرض می شود که تنش در یک نقطه، تابع کرنش در تمام نقاط آن جسم پیوسته است. در حقیقت این تئوری نیروهای بین اتم ها در یک جسم پیوسته را به صورت پارامتری موثر در حل مسائل وارد می کند.
در روش کلاسیک، هنگامی که می خواهیم تیرها و صفحه ها را در مقیاس بزرگ بررسی کنیم، فرض می‏شود که فاصله ی بین اتم ها در مقایسه با طول جسم بسیار کوچک است، به همین منظور اثر طول مشخصه در روابط در نظر گرفته نمی شود، در صورتی که در مسائل نانو تیرها و نانو صفحه ها، به علت کوچک بودن طول تیر، نمی توان اثر طول مشخصه را نادیده گرفت و این پارامتر به صورت یک عامل موثر وارد تحلیل های استاتیکی و دینامیکی می شود. در زیر مختصری در مورد مبانی تئوری الاستیسیته ی غیرموضعی آورده شده است.
همانطور که گفته شد در الاستیسیته ی کلاسیک، تانسور تنش در نقطه ی مادی ، تابعی از تانسور کرنش در همان نقطه ی مادی می باشد. در تئوری الاستیسیته ی غیر موضعی که توسط ارینگن ارائه شد، تانسور تنش در نقطه ی از محیط مادی ، توسط یک معادله ی انتگرالی به تانسور کرنش در تمام محیط مادی بستگی دارد. به عبارت دیگر، معادله ی ساختاری^[۲۸] تئوری الاستیسیته غیر موضعی به صورت انتگرالی بیان می‏شود: