در رابطه فوق . ∎
۱-۵-۱ رفتار مجانبی دوره­نگارها
حال با ذکر چند قضیه به بررسی رفتار مجانبی دوره­نگارها می­پردازیم.
قضیه ۱-۳
اگر یک سری زمانی ایستا با میانگین و باشد داریم:

برای اثبات به (Brokwell and Davis (1991))، صفحه ۳۴۳ مراجعه کنید.

از قضیه ۱-۳ می­توان نتیجه گرفت که میانگین دوره­نگار در صفر به سمت و در بقیه موارد به سمت همگراست که فرکانس فوریه است و به عبارت بهتر برآوردگری نااریب برای است.
اگر{ دارای توزیع نرمال با میانگین صفر و واریانس باشد و متغیرهای و را به صورت زیر تعریف کنیم:
به وضوح دیده می­ شود که امید و برابر صفر است اما واریانس آنها برابر است زیرا
و به صورت مشابه نیز می­توان واریانس را محاسبه کرد. بنابراین نتیجه می­گیریم که و ، به دلیل صفر بودن کوواریانس، از هم مستقل و دارای توزیع نرمال با میانگین صفر و واریانس هستند.
در رابطه (۱-۹) دیدیم که دوره­نگار برابر است با:
که صورت رابطه بالا دارای توزیع است. پس، دارای توزیع نمایی با میانگین است این مقدار برابر با است .
قضیه ۱-۴
فرض کنید باشد و ، ، دوره­نگار محاسبه شده با بهره گرفتن از باشد، در این صورت داریم:
۱- اگر باشد، بردار تصادفی به یک بردار از توزیع های نمایی مستقل که هر کدام دارای میانگین هستند همگراست.
۲- اگر و باشد، داریم:
از قضیه بالا نتیجه می­گیریم که دوره­نگار یک برآورد سازگار نیست، زیرا دوره­نگار در فرکانس­های فوریه به غیر از صفر برآوردی نااریب برای تابع چگالی طیف است اما واریانس آن به سمت صفر میل نمی کند (قضیه۱-۳ و ۱-۴). چون با توجه به قضیه ۱-۴ برآوردی سازگار نیست پس نمی­ توان به عنوان یک برآوردگر مناسب از آن استفاده کرد. در چنین مواردی سعی می­ شود با بهره گرفتن از فیلترها به برآوردگرهای سازگار دست پیدا کنند. به این فیلترها پنجره^[۶] نیز می­گویند. یکی از ساده­ترین فیلترها به صورت می باشد.
فرض کنید باشد. این فیلتر مقدار
)
را به جای مقدار در نقطه قرار می­دهد و در حقیقت منحنی دوره­نگار را هموار می­ کند. با بهره گرفتن از قضیه۱-۲ می­توان نشان داد که . بنابراین، برآوردی نااریب برای است اما استفاده از این فیلترها مقداری اریبی ایجاد می­ کند زیرا
به سمت نمی رود.
و نتیجه می­گیریم که هرچه تعداد جملاتی که در ساختن پنجره به کار می­روند بیشتر باشند اریبی بیشتری ایجاد می­ شود. از دیدگاه دیگر، اگر به واریانس خروجی فیلتر مورد نظر نگاه کنیم یعنی
مشاهده می­ شود که هر چه زیاد شود، واریانس به سمت صفر میل می­ کند و این امر سازگاری را برای ما به وجود می ­آورد.
در محاسبات فوق تقریبا برابر با است و در بقیه موارد نیز این رابطه برقرار است. حال باید بین اریبی و همگرایی به صفر واریانس (سازگاری) تعادل ایجاد شود یعنی نه آنچنان تعداد جملات را زیاد بگیریم که اریبی بسازد و نه آنچنان کم بگیریم که از به سمت صفر رفتن واریانس جلوگیری شود. دقت کنید که هرگاه ، تعداد مشاهدات، زیاد شود مقدار با فرکانس­های فوریه نزدیکش تقریبا یکی خواهد شد. فرض کنید دنباله­ای از توابع وزنی باشد لذا، باید در انتخاب پنجره شرایط زیر در نظر گرفته شود:
که در آن رابطه­ های ۳ و ۴ به ترتیب برای از بین رفتن اریبی و به سمت صفر رفتن واریانس هستند بنابراین، تخمین تابع چگالی طیفی به صورت زیر است:
(
که در آن دنباله­ای از اعداد صحیح مثبت و پنجره است.
مثال ۱-۱
در این مثال از داده ­های سری زمانی شامل۲۰۰ مشاهده در تعداد سالانه از لکه­های خورشیدی از سال ۱۷۰۰ تا ۲۰۰۰ استفاده می­کنیم. و نمودار مشاهدات و دوره­نگار را رسم می­­نماییم.
شکل ۱-۱: (الف) سری لکه­های خورشیدی. (ب) دوره­نگار
قله در نمودار دوره­نگار در فرکانس کمی کمتر از ۲۰ است. که به صورت ، محاسبه می­ شود که یک چرخه ۱۱ سال در فعالیت لکه های خورشیدی را نشان می­دهد.
۱-۶ ارتباط دوره­نگار با رگرسیون کمترین مربعات^[۷]
۱-۶-۱ رگرسیون هارمونیک^[۸] و داده ­های دوره­ای
فرض کنید
که در آن ، و به ترتیب مقادیر دامنه^[۹]، فرکانس^[۱۰] و فاز^[۱۱]هستند و نوفه سفید مربوط به فرایند باشد. فرکانس را محدود به بازه در نظر بگیرید. در این صورت رامی توان به صو رت زیر بازنویسی کرد: