(۷-۱۶)
که در آن
.
هم­چنین F و G به ترتیب ماتریس­هایی با ابعاد و و و دارای ابعاد هستند. کمینه کردن تابع هزینه (۷-۱۳) به منظور محاسبه سیگنال کنترل، که تابعی از ، ، ، ، …، ، ، و سیگنال مرجع می­باشد رابطه زیر را نتیجه می­دهد:
(۷-۱۷)
و برای فرایند فوق با در نظر گرفتن ماتریس کنترل وزنی و پارامترهای کنترل به صورت زیر محاسبه می­شوند:

.
کوچک بودن ضریب وزنی سیگنال کنترل بزرگ­تر و در نتیجه دقت بالاتری را در این حالت نتیجه می­دهد.نتیجه اعمال این روش برای خروجی دما و سطح به ترتیب در شکل­های ۷-۳۳ تا ۷-۳۶ آورده شده است.
شکل ۷-۳۳٫ خروجی سطح در روش IGPC.
شکل۷-۳۴٫ خروجی دمای روش IGPC.
شکل ۷-۳۵٫ سیگنال کنترل اعمال شده متناظر با دما (درصد).
شکل ۷-۳۶٫ سیگنال کنترل اعمال شده متناظر با سطح (درصد).
در آزمایش فوق ابتدا برای فرایند سطح سیگنال­های مرجع متفاوت ۲۵ و ۳۰ در نظر گرفته شده است و چگونگی دنبال شدن این سیگنال­های مرجع در شکل ۷-۳۳ تحقیق شده و سپس سیگنال مرجع را مقدار اولیه­اش یعنی ۲۰ سانتی­متر قرار می­دهیم. پس از آن در دقیقه ۶، سیگنال مرجع دما ۳۰ در جه سانتیگراد قرار داده شده و پاسخ زمانی خروجی دما در شکل ۷-۳۴ نشان داده شده است. وقتی دما به ۳۰ درجه سانتیگراد رسید در دقیقه ۲۱ سیگنال مرجع سطح افزایش می­باید (شکل ۷-۳۳) که در نتیجه آن به علت وجود اثر متقابل در حلقه کنترل دما، دمای آب کاهش و ولتاژ هیتر برای جبران این اثر افزایش پیدا می­ کند تا دمای آب به سیگنال مرجع برسد (شکل ۷-۳۴).
آزمایش دیگری نیز طراحی شده است تا دنبال کردن سیگنال مرجع را برای هر دو خروجی دما و سطح نشان دهد. نتایج در شکل­های ۷-۳۷ و ۷-۳۸ آورده شده است.
شکل ۷-۳۷٫ نتیجه اعمال روش IGPC برای خروجی دما (سانتیگراد) و سیگنال کنترل متناظر آن (درصد).
شکل ۷-۳۸٫ نتیجه اعمال روش IGPC برای خروجی سطح (سانتی­متر) و سیگنال کنترل متناظر آن (درصد).
در این آزمایش در ابتدا سطح آب در مقدار ۲۰ سانتی نگه داشته شده است و مقادیر سیگنال مرجع دما روی مقادیر ۲۸، ۳۵ و ۴۰ درجه سانتیگراد تنظیم و چگونگی دنبال شدن این نقاط تنظیم بررسی شده است. شکل ۷-۳۷ کیفیت پاسخ زمانی خروجی دما را به خوبی نمایش می‏دهند که در آن خروجی دما بدون بالازدگی از مقدار مرجع، سیگنال مرجع را دنبال می­ کند. پس از آن سیگنال مرجع دما به مقدار ۳۱ درجه کاهش یافته است و از آنجا که ابزاری برای کاهش دمای آب در فرایند وجود ندارد تبادل حرارتی با محیط موجب کاهش دمای آب تا ۳۱ درجه سانتیگراد شده است. سپس سیگنال مرجع سطح روی مقادیر ۲۸ و ۴۰ سانتی­متر تنظیم و قبل از اینکه کاهش دما توسط ترانسمیتر دما تشخیص داده شود ولتاژ هیتر افزایش می­یابد تا این اثر متقابل را کاهش دهد. اثر جبرانساز به خوبی درمنحنی سیگنال کنترل شکل ۷-۳۷ نشان داده شده است. شکل ۷-۳۸ پاسخ زمانی خروجی سطح را نشان می­­دهد که در آن خروجی دما به خوبی سیگنال مرجع را بدون بالازدگی دنبال کرده است.
همانطور که از نتایج فوق آشکار است صرف نظر کردن از زمان مرده فرایند کیفیت پاسخ را تحت تاثیر قرار نمی­دهد، به این معنی که الگوریتم کنترل مدل پیش‏بین تعمیم یافته صنعتی با افق کنترل و پیش‏بین ۴ و بدون در نظر گرفتن زمان مرده سیستم، دارای پاسخ زمانی بسیار خوبی برای هر دو خروجی سطح و دما می­باشد. با این وجود پیاده­سازی این الگوریتم با در نظر گرفتن زمان مرده سیستم و با افق کنترل ۱۰ و افق پیش بین ۱۵ نیز تحقیق شده است.
از آن­جا که فرایند دارای دو خروجی می­باشد، پیش‏بینی خروجی­های آینده برای هر یک به صورت جداگانه به صورت زیر تخمین زده می­ شود:
با استخراج رابطه پیش‏بینی فوق برای هر دو متغیر خروجی فرایند با افق پیش بین ۱۵ و افق کنترل ۱۰ و کمینه کردن تابع هدف خواهیم داشت
که در آن R و S ماتریس­های ثابت و و ماتریس­های چند جمله­ای با ابعاد متناسب می­باشند. هم­چنین
و
ماتریس R نیز به فرم خواهد بود که در آن G به صورت زیر تعریف می­ شود:
که ها به صورت زیر هستند:

ماتریس که تاخیر زمانی در فرایند حرارتی در این ماتریس نمایان می­ شود دارای ۴ سطر صفر خواهد بود. تعداد کل سطرهای این ماتریس برابر با ۱۵ و تعداد ستون­های آن ۱۰ می باشد. ماتریس­های و به ترتیب دارای ابعاد بدون سطر و ستون کاملا صفر می­باشند و ماتریس صفر می­باشد. ماتریس­های ، و در ضمیمه (ب) آورده شده‏اند.
در نهایت سیگنال کنترل می ­تواند به فرم ساده شده زیر نوشته شود:
که در آن یک ماتریس ، یک ماتریس و ها ماتریس­هایی با ابعاد می­باشند که برای مدل تخمین زده شده از فرایند از قبل محاسبه و در نتیجه سیگنال کنترل برای هر یک از متغیرهای فرایند به راحتی قابل پیاده­سازی می­باشد.
برای بررسی کیفیت پاسخ خروجی الگوریتم فوق، آزمایشی طراحی شده است که نتایج آن در شکل­های ۷-۳۹ و ۷-۴۰ آورده شده است.
شکل ۷-۳۹٫ نتیجه اعمال روش IGPC برای خروجی دما و سیگنال کنترل متناظر (درصد).
شکل ۷-۴۰٫ نتیجه اعمال روش IGPC برای خروجی سطح و سیگنال کنترل متناظر (درصد).
در این آزمایش در ابتدا سیگنال مرجع دما در مقادیر ۲۸، ۳۵ و ۴۰ سانتی ­گراد تنظیم و چگونگی دنبال شدن این سیگنال تحقیق شده است، در حالی­که سطح آب درون مخزن اول در مقدار ۲۰ سانتی­متر ثابت شده است. شکل ۷-۳۹ پاسخ زمانی خروجی دما را نشان می­دهد که در آن خروجی دما بدون هیچ­گونه بالازدگی سیگنال مرجع را برای هر سه نقطه تنظیم دنبال کرده است. سپس در دقیقه ۸۴ سیگنال مرجع سطح به ۲۸ سانتی­متر افزایش می­یابد. شکل ۷-۴۰ کیفیت پاسخ زمانی خروجی سطح را به خوبی نمایش داده است. در اثر افزایش سیگنال مرجع سطح، دمای آب در تانک اول به شدت افت می­ کند و سیستم کنترلی در جهت جبران این اثر متقابل عمل می­ کند تا افت دما را در سیستم جبران کند (شکل ۷-۳۹، سیگنال کنترل، دقیقه ۸۴). سپس در دقیقه ۱۳۵ سیگنال اغتشاش به مدت ۴۵ ثانیه به سیستم اعمال­ گردیده است و چگونگی جبران اثر آن روی هر دو خروجی دما و سطح به ترتیب در شکل ۷-۳۹ و ۷-۴۰ نشان داده شده است.
کیفیت پاسخ زمانی در این حالت نیز به خوبی به نمایش گذاشته شده است، سرعت و دقت پاسخ برای افق کنترل و پیش‏بین بالاتر اندکی بهبود یافته ولی حساسیت الگوریتم به داده ­های سنسور افزایش پیدا کرده است. بنابراین برای این فرایند پیاده­سازی الگوریتم IGPC با افق کنترل و پیش بین ۴ کفایت می­ کند.
شکل ۷-۴۱ مقایسه الگوریتم IGPC را از دیدگاه زمان اسکن برنامه و حجم حافظه مورد نیاز برای دو افق ۱۵ و ۴ نشان می­دهد.
شکل ۷-۴۱٫ مقایسه روش IGPC برای افق پیش‏بین ۱۵ و ۴٫

• • 1. 1. طراحی کنترل‏کننده PID همراه با جبرانساز برای فرایند دو متغیره دما و سطح

     

     

کنترل­ کننده مرسوم PID به همراه جبرانساز برای مقایسه با روش IGPC در این بخش طراحی و اعمال شده است تا برتری این روش نسبت به این کنترل­ کننده نشان داده شود.
اولین نقطه برای شروع در طراحی کنترل­ کننده­ های سیستم­های چند متغیره مشخص کردن حلقه­های کنترل مجزای تک ورودی و تک خروجی است به این منظور که هر متغیر ورودی برای کنترل کدام متغیر خروجی در نظر گرفته شود. حلقه­های اصلی در فرایند موجود حلقه کنترل دما و کنترل سطح هستند. شکل ۷-۴۲ فرایند دو ورودی دو خروجی با اثر متقابل را نشان می­دهد.
شکل ۷-۴۲٫ یک سیستم دو متغیره با اثر متقابل [۶۹].