در جاییکه و ارضاء کننده روابط (۱۶- ۴) و (۱۷- ۴) هستند. نیز با بهره گرفتن از شرایط اولیه محاسبه می شود.

۴-۴- نتایج تحلیل عددی :
برای تحلیل پارامترهای سیستم بر روی پدیده هانتینگ رابطه (۱۶- ۴) بصورت عددی با بهره گرفتن از روش سکانت حل شد. پارامترهای سیستم که برای تحلیل عددی مورد استفاده قرار گرفتند در فهرست بیان شده اند. این پارامترها که بیان کننده سیستم ما هستند بر طبق یک بوژی سه محوره که در راه آهن امریکا مورد استفاده قرار می گیرد هستند.

شکل ۵- ۴- جابجایی عرضی درسرعت m/s 10
درشکل بالا نمودار جابجایی عرضی چرخ ومحور را برحسب زمان مشاهده می کنیم که در سرعت m/s 10 به دست آمده است که با توجه به اینکه سرعت بحرانی غیر خطی m/s 35می باشد، هیچ گونه هانتینگی مشاهده نمی شود.
شکل ۶- ۴- نمودارفازی حرکت عرضی چرخ ومحور درسرعت m/s 10
نمودار بالا نیز نمودار فازی چرخ ومحور را برای جابجایی عرضی سیستم در سرعت m/s 10 نشان می دهد که نمودار فازی سیستم در نهایت به مختصات (۰و۰) می رسد.
شکل ۷- ۴- جابجایی یاو درسرعت m/s 10
درشکل بالا نمودار حرکت یاو چرخ ومحور را برحسب زمان مشاهده می کنیم که در سرعت m/s 10 به دست آمده است که با توجه به اینکه سرعت بحرانی غیر خطی m/s 35 می باشد، هیچ گونه هانتینگی مشاهده نمی شود.
شکل ۸- ۴- نمودارفازی حرکت یاو درسرعت m/s 10
نمودار بالا نیز نمودار فازی چرخ ومحور را برای حرکت یاو سیستم در سرعت m/s 10 نشان می دهد که نمودار فازی سیستم در نهایت به مختصات (۰و۰) می رسد.
سرعت هانتینگ km/hr165 می باشد ودوشاخگی نقطه زینی در مجاورت سرعت هانتینگ بوجود می آید که در شکل نشان داده شده است. وقتی که دامنه سیکل حدی دوشاخه شده به لقی بین فلنج چرخ وریل می باشد، یک نیروی تماسی عرضی بسیار عظیمی بوجود می آید که بین چرخ و ریل بوجود می اید. به خاطر خاصیت سخت شوندگی ذاتی این فنر (فنریت ریل)، نیروی تماسی منحنی دوشاخگی را به سمت راست سوق می دهد و یک دوشاخگی فوق بحرانی^[۳۴] در یک اشل بزرگی را بوجود می آورد. ما سرعتی که در کمتر از آن سرعت، هانتینگ رخ نمی دهد را سرعت بحرانی می نامیم و با v_n نشان می دهیم که به عبارتی همان سرعت بحرانی غیرخطی است.
این سرعت متفاوت با سرعتی است که از آنالیز خطی سیستم بدست آمده است و در حقیقت در برگیرنده تمامی اثرات ترمهای غیرخطی در سیستم می باشد. سرعت بحرانی ای که در آنالیز خطی بدست آمده است را به عنوان سرعت بحرانی هانتینگ می نامیم که در آن سیستم دینامیکی مقادیر ویژه ناپایدار می شود.
برای سیستمهایی که دوشاخگی نقطه زینی دارد،‌سرعت بحرانی از سرعتی که از تحلیل خطی سیستم بدست آمده است کمتر می باشد. همانطور که در شکل نشان داده شده است تفاوت بسیاری می تواند بین سرعت بحرانی و سرعتی که در آن در واقعیت شروع هانتینگ رخ می دهد وجود داشته باشد. در این میان (بین سرعت های v_c,v_n) ممکن است هانتینگ رخ دهد و پایداری و عملکرد سیستم نقلیه ریلی را کاهش دهد.
شکل ۹- ۴ - دیاگرام دوشاخگی سیکل حدی برای پارامترهای ا سمی سیستم چرخ ومحور
شکل (۹- ۴) دو رژیم دینامیکی را نشان می دهد، یکی پایدار و دیگری ناپایدار دوشاخگی نقطه زینی در سرعت v_n رخ می دهد و وقتی که سرعت کاهش می یابد دامنه نوسان افزایش می یابد تا اینکه جابجایی عرضی برابر شود با لقی بین فلنج چرخ وریل.
در این نقطه که با سرعت v_n نشان داده شده است تماس بین فلنج و ریل رخ می دهد و سختی عرضی ریل به دینامیک چرخ و محور اضافه می شود. این رخداد باعث می شود که شاخه به سمت راست برود. قابل ذکر است که دیگر دوشاخگی ها ممکن است در حالتهای برخورد بوجود آید. حلگرهای عددی بسیار پیچیده ای نیاز هستند تا وضعیت دوشاخگی را مشخص کنند. جابجایی عرضی چرخ و محور به افزایش خود ادامه می دهد و موجب نیروهای عرضی عظیم تری می شود که به چرخ وارد می شوند. برای کاهش ریسک بالارفتن چرخ از ریل تعیین نیروهای عرضی و عمودی روی ریل بسیار حائز اهمیت میباشند که نیروهای عرضی باید کوچکتر از نیروهای عمودی وارد بر چرخ یا ریل باشند.
۵- ۴- مطالعه پارامتریکی:
یک مطالعه پارامتری برای تعیین اثر پارامترهای گوناگون بر رفتار هانتینگ غیرخطی و دوشاخگی چرخ و محور و چرخ و محور با بوژی انجام شد. این پارامترها عبارتند از:
۱- دمپرهای یاو
۲- سختی جانبی ریل
۳- لقی بین فلنج چرخ و ریل
۴- سختی یاو سیستم تعلیق اولیه
۵- سختی جانبی سیستم تعلیق اولیه
۶- دمپینگ جانبی سیستم تعلیق اولیه
۷- وزن محور
۶- ۴- دمپرهای یاو:
همانطور که پیش تر اشاره شده یک چند جمله‌ای درجه چهار برای نشان دادن خصوصیات دمپریاو به کار برده شد. چند جمله ای درجه چهار به این علت که به خوبی دیتای گرفته شده از تست عملی را ارضاء می کرد انتخاب شد. پنج گونه مختلف دمپینگ که درشکل نشان داده شده اند برای مطالعه پارامتری در نظر گرفته ایم.
شکل ۱۰- ۴- پنج نوع دمپر یاو مورداستفاده درتحلیل
برای هر منحنی، ضرایب C₁ تا C₄ را در رابطه نیروی دمپینگ طوری انتخاب کرده این که ویژگی نیرو- سرعت دمپر را به بهترین شکل مدل کند. روابط دمپرها به گونه زیر می باشند:
دمپرهای غیرخطی یاو به طور قابل توجهی بر روی v_c اثر گذار هستند. نتایج حاکی از این هستند که افزایش دمپینگ یاو می تواند هر دوی v_c و v_n را افزایش دهد. اگر دمپینگ یاو از یک حد معینی فراتر رود، از آن حد به بعد سرعت بحرانی کاهش خواهد یافت. این رخداد احتمالاً به علت بوجود آمدن جفت شدگی قوی تری بین محور و قاب بوژی می باشد.
این پدیده متفاوت با رفتار خطی هانتینگ است که اشاره دارد بر این موضوع که افزایش دمپینگ به طور فزاینده‌ای سرعت بحرانی را افزایش می دهد.
شکل ۱۱- ۴- رفتار هانتینگ برای د مپرهای یاومختلف
شیفت ناگهانی ای که بین رفتار هانتینگ به خاطر دمپرها ۳ و ۴ وجود دارد می تواند در ارتباط با ثوابت قسمت خطی و قسمت توان دوم نیروهای دمپینگ که اثر بیشتری را در سیستم دارند باشد.
۷- ۴- سختی عرضی ریل:
همانطور که پیش تر اشاره شد، نیروهای عرضی ای که به خاطر سختی جانبی ریل در طول تماس فلنج بوجود آمدند، به شکل قابل توجهی روی پدیده دوشاخگی و رفتارهانتینگ چرخ و محور اثر گذار هستند. همانطور که در شکل نشان داده شده است پس از تماس فلنج شاخه به سمت راست متمایل شده که با شیبهای متفاوتی بسته به سختی های مختلف می باشد.
شکل ۱۲- ۴– تاثیرسختی ریل بررفتارهانتینگ
این شکل نشان دهنده این موضوع نیز می باشد که سختی عرضی ریل تاثیری بر روی سرعت بحرانی یا سرعت دوشا خگی ندارد.
این سختی روی نیروهایی که بصورت جانبی به چرخ وارد می شود تاثیر گذار است که با مطالعه آن نیروها می توان سرعتی را که نیروهای عرضی برابر با نیروهای عمودی می شود و چرخ و محور رد آستانه بالارفتن از ریل قرار می گیرد و موجبات خروج از خط را فراهم می کنند، بدست آورد که مبحث مورد بررسی ما در این پایان نامه نمی با شد.
۸- ۴- لقی بین فلنج چرخ و ریل :
پارامتر دیگری که به طور قابل توجهی روی رفتار هانتینگ تاثیر گذار می باشد، ویژگی غیرخطی ای است که به علت وجود لقی بین فلنج چرخ.و ریل وجود دارد. همانگونه که در شکل نشان داده شده است، سرعتی که در آن شاخه به سمت راست متمایل می شود (یعنی رفتار دوشاخگی تغییر می کند) با افزایش لقی، کاهش می یابد. این موضوع باعث کاهش سرعت بحرانی می شود که در شکل نشان داده شده است.
شکل ۱۳- ۴- تاثیرتغییرلقی بین فلنج چرخ وریل بررفتارهانتینگ
سرعت v_c که در آن دوشاخگی رخ می دهد،‌ بصورت بسیار ملایمی افزایش می یابد. نتایج بیان گر این هستند که در پی افزایش لقی، محور اجازه خواهد داشت که حرکت عرضی بیشتری انجام دهد قبل از اینکه تماس فلنج بین چرخ و ریل برقرار شود. این موضوع چرخ و محور را قادر خواهد کرد که ممنتوم بیشتری بدست آورد و بصورت شدیدتری به ریل برخورد کند که در این صورت نیروهای عرضی افزایش یافته و احتمال خروج از خط را افزایش می دهد.
۹- ۴- پارامترهای دیگر:
پارامترهای باقیمانده ای که تغییر یافتند پارامترهای خطی سیستم تعلیق اولیه می باشد مانند دمپینگ و سختی عرضی، سختی یاو و وزن بدون فنر چرخ و محوروزن بدون فنر اینگونه تعریف می شود که وزنی است توسط فنرهای سیستم اولیه مورد اعمال نیرو قرار نمی گیرد که این درمقابل وزن با فنریت است که توسط فنرهای سیستم تعلیق اولیه اعمال نیرو می شود. شکلهای (۱۴- ۴) تا (۱۷- ۴) نتایجی را نشان می دهند که پارامترها بصورت جداگانه تغییر می کنند. هر پارامتری اثر متفاوتی را بر رفتار هانتینگ می گذارد.
شکل ۱۴- ۴- تاثیرسختی عرضی سیستم تعلیق اولیه برسرعتهای بحرانی خطی وغیرخطی
شکل ۱۵- ۴- تاثیردمپینگ عرضی سیستم تعلیق اولیه برسرعتهای بحرانی خطی وغیرخطی
باافزایش دمپینگ وسختی عرضی سیستم تعلیق اولیه سرعتهای بحرانی خطی وغیرخطی هردوافزایش میابند.
شکل ۱۶- ۴- تاثیر سختی یاو سیستم تعلیق اولیه برسرعتهای بحرانی خطی وغیرخطی
افزایش سختی عرضی و یا دمپینگ عرضی سرعت بحرانی v_n و سرعت دوشاخگی v_c را افزایش می دهد.افزایش سختی یاو یک تاثیر بسیار زیادی را در شبیه به اثر افزایش سختی عرضی سیستم تعلیق اولیه روی رفتار هانتینگ می گذارد. در پی افزایش سختی یاو، سرعتهای v_c و v_n به شدت افزایش می یابند. شباهت بسیار زیاد بین اثرات سختی عرضی و سختی یاو می تواند به خاطر جفت شد گی بین حرکات عرضی و یاو چرخ و محور در حرکت هانتینگ باشد.